Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

Sea ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ una partición sobre el espacio muestral y sea ${\displaystyle B}$ un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales ${\displaystyle P(B|A_{i})}$, entonces la probabilidad del suceso ${\displaystyle B}$ viene dada por la expresión: ${\displaystyle P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i})}$ Por hipótesis tenemos una partición ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ del espacio muestral ${\displaystyle \Omega }$. Por lo tanto el suceso ${\displaystyle B}$ se puede escribir como ${\displaystyle B=(B\cap A_{1})\cup (B\cap A_{2})\cup \cdots \cup (B\cap A_{n}).}$ ahora bien, los conjuntos ${\displaystyle B\cap A_{i}}$ son disjuntos dos a dos , ya que en caso contrario los ${\displaystyle A_{i}}$ tampoco lo serían. En consecuencia ${\displaystyle P(B)=P(B\cap A_{1})+P(B\cap A_{2})+\cdots +P(B\cap A_{n}).}$ Por último, se sabe que ${\displaystyle P(C\cap D)=P(C|D)P(D)}$ para cualesquiera sucesos ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$. Luego ${\displaystyle P(B)=P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})+\ldots +P(B|A_{n})P(A_{n})=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i}),}$ que era lo que se quería demostrar  Información sacada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_probabilidad_total

Método de Gauss

 En álgebra lineal, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así en honor de Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo que se usa para determinar la inversa de una matriz y las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.​ Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

El método de eliminación de Gauss-Jordan aparece en el capítulo ocho del importante texto matemático chino Jiuzhang suanshu o Los nueve capítulos sobre el arte matemático. Su uso se ilustra en dieciocho problemas, de dos a cinco ecuaciones cada uno. La primera referencia al libro por este título data del 179 DC, pero algunas de sus partes fueron escritas tan pronto como alrededor del 150 a. C.​, en este año fue señalado por Liu Hui en el III siglo.

La complejidad computacional de la eliminación gaussiana es O(n³). Esto es, el máximo número de operaciones requeridas es del orden de n³ si el tamaño de la matriz es n × n.

Algoritmo

1. Ir a la primera columna número cero de izquierda a derecha.
2. Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.
4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón obtener 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos correspondientes a los renglones correspondientes.

Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma escalonada reducida.

Información sacada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan

Teorema de Rolle

 En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor que está en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

Fue establecido en 1691 por el matemático francés Michel Rolle (1652-1719).

Se puede enunciar de la siguiente manera,

si ${\displaystyle \ f}$ es una función continua en un intervalo cerrado ${\displaystyle \ [a,b]}$, derivable sobre el intervalo abierto ${\displaystyle \ (a,b)}$ y ${\displaystyle \ f\left(a\right)=f\left(b\right)}$, entonces: Existe al menos un punto ${\displaystyle \ c}$ perteneciente al intervalo ${\displaystyle \ (a,b)}$ tal que ${\displaystyle \ f'(c)=0}$. Demostración[editar] Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de la función es mayor o bien este valor es menor que en los extremos. Para el primer caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incremental es cero). Gracias a la continuidad de f, la imagen de [a, b], es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen. La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo. Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f(a) = f(b). Supongamos que sea M. Entonces M > f(a) = f(b), y por lo tanto el máximo M se alcanza en el interior del intervalo. Sea c en [a, b] tal que f(c) = M. Por definición del máximo, M = f(c) ≥ f(x) para todo x de [a, b]. Entonces el cociente (f(c) - f(x)) / (c - x) es positivo cuando x < c (porque su numerador es siempre positivo y su denominador es positivo no nulo), y es negativo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f'(c) es por definición el límite de este cociente cuando x tiende hacia c. El límite por la izquierda, f '(c-), tiene que ser igual al límite por la derecha, f '(c+). Por lo tanto este límite común es nulo, o sea f '(c) = 0. La demostración es muy similar si es el mínimo el que se alcanza en (a, b). Demostración gráfica En el siguiente gráfico se observan las tres condiciones: la función es continua en el intervalo cerrado [a,b], es derivable y los valores que toma la función en los puntos a y b son iguales, es decir, f(a) = f(b). Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto (a,b) en el cual la derivada de la función es igual a cero. Vale observar que c es distinto de a y de b. No debemos confundir c con f(c), que sí puede ser igual a f(a) y f(b). En la ilustración se ve una función constante, pero el teorema no sólo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f(c) es distinto de f(a) y f(b), a saber: Caso 1. El punto máximo es igual a f(a) y f(b) y el punto mínimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es convexa. El punto mínimo es m = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0. Caso 2. El punto mínimo es igual a f(a) y f(b) y el punto máximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava. El punto máximo es M = f(c), y la derivada de la función en este punto es 0. Caso 3. Tanto el punto mínimo como el punto máximo son distintos a f(a) y f(b). Esto significa que dentro del intervalo cerrado [a, b] la función alcanza un punto máximo M = f(c2) mayor al valor de la función en los extremos a y b y un punto mínimo m = f(c1) menor a los mismos. Tanto en el punto máximo como en el punto mínimo, la derivada de la función es nula. Es decir, f '(c1) = 0 y f '(c2) = 0.

Información sacada de:  https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rolle

Logaritmos

 En análisis matemático el logaritmo de un número real positivo n, en una determinada base b, es el exponente x de b para obtener n:

${\displaystyle \log _{b}n=x\quad \Leftrightarrow \ \quad b^{x}=n}$

La base tiene que ser positiva y distinta de 1.

Así, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 10 al cubo vale 1000:

${\displaystyle \log _{10}1000=3\quad \Leftrightarrow \ \quad 10^{3}=1000}$

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos o logaritmación es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante —por identidades logarítmicas— que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,}$

La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.

Propiedades algebraicas

En esta parte se destaca la capacidad operativa del uso de logaritmos en el sentido de operaciones coligadas; mediante logaritmos, una operación se convierte en otra operación de menor nivel. Por ejemplo, un producto de n factores se reduce a una adición de n sumandos.

Ciertamente, las siguientes proposiciones funcionan como identidades para los valores de su dominio de definición. Sin embargo, el éxito de la invención y uso de los logaritmos, justamente, radicó en poder convertir productos en sumas; cocientes en restas; potencia en producto y raíz de grado n en un cociente. Este hecho permite decir que, en su momento, el uso de logaritmos produjo un cambio revolucionario en los cálculos, empleados en la astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales.​Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

${\displaystyle \!\,\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\,}$

• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

${\displaystyle \!\,\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)\,}$

• El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

${\displaystyle \!\,\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\,}$

• El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

${\displaystyle \!\,\log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})={\frac {\log _{b}(x)}{y}}\,}$

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

${\displaystyle \!\,{\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}\,}$

Selección y cambio de base

Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que, todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}\,\!\,}$

en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {1}{\log _{x}(b)}}.}$

El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como ${\displaystyle \log(x)\,\!\,}$, en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

Propiedades analíticas

Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de función. Un ejemplo es la función que produce la x-ésima potencia de b para cualquier número real x, donde la base (o raíz) b es un número fijo. Esta función se escribe como

${\displaystyle f(x)=b^{x}\,}$

Función logarítmica

Para garantizar la definición de logaritmos, es necesario demostrar que para la ecuación exponencial

${\displaystyle b^{x}=y\,}$

existe una única solución x , asumiendo que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental. Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.

Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = b^x. Puesto que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x₀) y f(x₁) para un adecuado x₀ y x₁. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).​

La única solución x es el logaritmo de y en la base b, log_b(y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).

Función inversa

La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x,

${\displaystyle \log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}(b)=x.}$

En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmula

${\displaystyle b^{\log _{b}(y)}=y}$

dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de f(x) = b^x.

Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (t, u = b^t) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = log_bu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa.

Crecimiento o decrecimiento de la función

Como consecuencia, log_b(x) tiende a + infinito (se hace más grande que cualquier número dado) si x aproxima a + infinito, siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, log_b(x) es un función creciente. Para b < 1, log_b(x) tiende a menos infinito en lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, log_b(x) tiende a menos infinito para b > 1 (a más infinito cuando b < 1, respectivamente). En cualquier caso, y para todo valor apropiado de la base b, la gráfica de la función logarítmica corta al eje de las abscisas en el punto (1,0).

Derivada e integral indefinida

Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.​ Así, como f(x) = b^x es una función continua y diferenciable, también lo será log_b(y). Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)b^x por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de log_b(x) es dada por

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.}$

Esto es, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en base-b en el punto (x, log_b(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) es 1/x, lo que implica que la integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un argumento funcional generalizado f(x) es

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$

El cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f. Calcular f'(x) por medio de la derivada de ln(f(x)) se conoce como diferenciación logarítmica.​ La integral indefinida del logaritmo natural ln(x) es:

${\displaystyle \int \ln(x)\,{\text{d}}x=x\ln(x)-x+C.}$

Fórmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases pueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.

Representación integral del logaritmo natural

El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/x dx desde 1 a t:

${\displaystyle \ln(t)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

En otras palabras, ln(t) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/x, recorrido desde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln(x) sea 1/x. El miembro de la derecha de esta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural. Las fórmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.​ Por ejemplo, la fórmula del producto ln(tu) = ln(t) + ln(u) se deduce como:

${\displaystyle \ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).}$

La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable ( w = x/t). En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde a dividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul de la izquierda verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmente no se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área de la gráfica se ajusta a la función f(x) = 1/x de nuevo. Por lo tanto, el área azul del término izquierdo, que es la integral de f(x) desde t a tu es la misma que la de la integral desde 1 a u. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostración geométrica más.

La fórmula de la potencia ln(t^r) = r ln(t) puede ser obtenida de manera similar:

${\displaystyle \ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).}$

La segunda igualdad usa los cambios de variable (integración por sustitución), w := x^1/r.

La suma sobre los inversos de los números naturales,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

es llamada serie armónica. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n tiende a infinito, la diferencia,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$

converge (es decir, se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido como constante de Euler-Mascheroni. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, como quicksort.

Trascendencia del logaritmo

El logaritmo es un ejemplo de función trascendente y desde un punto de vista teórico, el teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores «difíciles». La declaración formal se basa en la noción de números algebraicos, que incluye a todos los números racionales, pero también números tales como la raíz cuadrada de 2 o

${\displaystyle {\sqrt {-5+{\sqrt[{3}]{\cfrac {3}{13}}}}}}$

Números complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes;​ por ejemplo, π y e son dos de esos números. Casi todos los números complejos son trascendentes. Usando estas nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que dados dos números algebraicos a y b, log_b(a) es, o un número trascendente, o un número racional p / q (en cuyo caso a^q = b^p, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamente relacionados).