Sistema diédrico

 El sistema diédrico es un método de representación geométrica de los elementos del espacio tridimensional sobre un plano, es decir, la reducción de las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano, utilizando una proyección ortogonal sobre dos planos que se cortan perpendicularmente. El sistema formado por los dos planos se denomina diedro. Para generar las vistas diédricas, uno de los planos se abate sobre el segundo, permitiendo la representación de las proyecciones de los elementos en un plano (papel).

Es un método gráfico de representación que consiste en obtener la imagen de un objeto (en planta y alzado), mediante la vista proyección de haces perpendiculares a dos planos principales de proyección, horizontal (PH) y proyección vertical (PV). El objeto queda representado por su vista frontal (proyección en el plano vertical) y su vista superior (proyección en el plano horizontal); también se puede representar su vista lateral, como proyección auxiliar.

Si se prescinde de la línea de tierra, se denomina sistema diédrico directo.

La geometría descriptiva es la ciencia que trata la manera de representar una figura de dos o tres dimensiones en un plano. El sistema básico dentro de esta geometría es el sistema diédrico o de proyecciones diédricas ortogonales. Gaspard Monge, geómetra francés, fue quien codificó su estudio y mecanismo; para ello nos valemos de dos planos proyectantes que forman entre sí un ángulo recto (de 90º).

Los dos planos proyectantes principales son el Horizontal y el Vertical. Su intersección se denomina Línea de tierra.

• Plano Horizontal (PH): contiene la proyección horizontal o planta. Está subdividido por la Línea de tierra (LT) en: Plano horizontal Posterior (detrás) y Plano Horizontal Anterior (delante).
• Plano Vertical (PV): contiene la proyección vertical o alzado. Está subdividido por la Línea de Tierra en: Plano Vertical Superior (arriba) y Plano Vertical Inferior (abajo).
  

• Normalmente, solo se usan los planos PH y PV, que se cortan en la Línea de tierra (LT) dando origen a una subdivisión del espacio en cuatro ángulos diedros o cuadrantes.

  Para representar en dos dimensiones (sobre un papel) las vistas principales en el sistema diédrico, se realiza un abatimiento, que consiste en girar, tumbar, o abatir un plano principal de tal manera que el Plano Horizontal (PH) se superponga al Plano Vertical (PV).

  También se utiliza, como plano auxiliar, el denominado:

  • Plano de Perfil (PP): contiene la proyección lateral izquierda (o derecha).

  Planos bisectores

  Los dos planos bisectores son aquellos que dividen a los cuadrantes en dos octantes de 45º cada uno. El primer bisector está en el primero y tercer cuadrante y el segundo bisector en el segundo y cuarto cuadrante. Los planos bisectores se definen como el lugar geométrico de puntos con idéntica cota y alejamiento.

Un punto situado en el espacio se representa mediante sus dos proyecciones (a modo de sombras) sobre los planos principales: proyección horizontal y proyección vertical.

Cota

Se denomina cota de un punto del espacio a la distancia entre él y su proyección en el plano horizontal, o lo que es lo mismo la distancia entre la proyección vertical y la línea de Tierra (LT). Es decir, su distancia en el eje Z.

Alejamiento

Se denomina alejamiento de un punto del espacio a la distancia entre él y su proyección en el plano vertical, que equivale a la distancia entre la proyección horizontal y la línea de Tierra (LT). Es decir, su distancia en el eje Y.

Las proyecciones vertical y horizontal de un punto siempre se encuentran alineadas, siendo el segmento que los une perpendicular a la línea de Tierra (LT).

Lateralidad

Se denomina lateralidad o distancia al origen de un punto del espacio a su situación (derecha o izquierda) respecto a la línea de tierra (LT). Es decir, su distancia en el eje X.

Determinación por coordenadas

Un punto puede determinarse por coordenadas. El origen de este sistema será la intersección de los planos principales: horizontal, vertical y de perfil.

• El eje X está determinado por la recta intersección de los planos horizontal y vertical, es decir, sobre la Línea de tierra.
• El eje Y está determinado por la recta intersección de los planos horizontal y de perfil.
• El eje Z está determinado por la recta intersección de los planos vertical y de perfil.

Una recta está definida cuando se conocen sus dos proyecciones, horizontal y vertical. La proyección de una recta sobre un plano es otra recta, formada por la proyección de todos los puntos de ella. Conociendo las parejas de proyecciones de dos puntos de una recta, se obtiene la proyección uniéndolos.

Trazas de una recta

Las trazas de una recta son los puntos de intersección con los planos principales (PV y PH).

Un plano está definido mediante sus dos trazas: la vertical y la horizontal. Las trazas de un plano son las rectas de intersección con los planos principales (PV y PH).

Una recta pertenece a un plano, si la traza vertical de la recta es un punto de la traza vertical del plano y, además, la traza horizontal de la recta es un punto de la traza horizontal del plano.

Abatimientos

Para obtener, en verdadera magnitud, la representación de una figura contenida en un plano cualquiera, se abate dicho plano sobre uno de los principales.

Un cuerpo geométrico se representa mediante la proyección de sus aristas, sus generatrices extremas, o su contorno (esfera). Las aristas o generatrices más próximas al punto de vista se representan como segmentos de trazo continuo, y las posteriores, u ocultas, mediante segmentos de trazo discontinuo. Las zonas seccionadas se indican mediante trazos paralelos inclinados.

La proyección de una circunferencia es, generalmente, una elipse. Será otra circunferencia semejante si está contenida en un plano paralelo a uno principal. Puede ser un segmento si está de perfil respecto de un plano principal, siendo su longitud la del diámetro.

Según como estén reflejadas las proyecciones en el plano del dibujo, existen dos sistemas de representación:

• Sistema europeo: Las proyecciones se recogen tras el objeto. Son vistas en el primer cuadrante.
• Sistema americano: Las proyecciones se reflejan desde el objeto. Son vistas en el tercer cuadrante.

Aunque en ambos sistemas las proyecciones (representaciones del objeto) son exactamente las mismas, su disposición en el plano del dibujo es la inversa.

Información sacada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_di%C3%A9drico

Poliedro regular

 Un poliedro regular es un cuerpo geométrico en el                                                                                                   que sus caras son todas polígonos regulares iguales,                                                                                                          y todos sus

Poliedros regulares

Tetraedro
	Dual: Tetraedro
	Símbolo de Schläfli: ${\displaystyle \scriptstyle \{3,\,3\}}$
	Símbolo de Wythoff: ${\displaystyle \scriptstyle 3\,|\,2\ 3}$
	Familia: Sólidos de Platón
	Poliedro convexo
Hexaedro, Cubo
	Dual: Octaedro
	Símbolo de Schläfli: ${\displaystyle \scriptstyle \{4,\,3\}}$
	Símbolo de Wythoff: ${\displaystyle \scriptstyle 3\,|\,2\ 4}$
	Familia: Sólidos de Platón
	Poliedro convexo
Octaedro
	Dual: Cubo
	Símbolo de Schläfli: ${\displaystyle \scriptstyle \{3,\,4\}}$
	Símbolo de Wythoff: ${\displaystyle \scriptstyle 4\,|\,2\ 3}$
	Familia: Sólidos de Platón
	Poliedro convexo
Dodecaedro
	Dual: Icosaedro
	Símbolo de Schläfli: ${\displaystyle \scriptstyle \{5,\,3\}}$
	Símbolo de Wythoff: ${\displaystyle \scriptstyle 3\,|\,2\ 5}$
	Familia: Sólidos de Platón
	Poliedro convexo
Icosaedro
	Dual: Dodecaedro
	Símbolo de Schläfli: ${\displaystyle \scriptstyle \{3,\,5\}}$
	Símbolo de Wythoff: ${\displaystyle \scriptstyle 5\,|\,2\ 3}$
	Familia: Sólidos de Platón
	Poliedro convexo
Pequeño dodecaedro estrellado
	Dual: Pequeño dodecaedro estrellado
	Símbolo de Schläfli: ${\displaystyle \scriptstyle \{{5 \over 2},\,5\}}$
	Símbolo de Wythoff: ${\displaystyle \scriptstyle 5\,|\,2\ {5 \over 2}}$
	Familia: Sólidos de Kepler-Poinsot
	Poliedro no convexo
Gran dodecaedro estrellado
	Dual: Gran dodecaedro estrellado
	Símbolo de Schläfli: ${\displaystyle \scriptstyle \{{5 \over 2},\,3\}}$
	Símbolo de Wythoff: ${\displaystyle \scriptstyle 3\,|\,2\ {5 \over 2}}$
	Familia: Sólidos de Kepler-Poinsot
	Poliedro no convexo
Gran dodecaedro
	Dual: Gran dodecaedro
	Símbolo de Schläfli: ${\displaystyle \scriptstyle \{5\,,{5 \over 2}\}}$
	Símbolo de Wythoff: ${\displaystyle \scriptstyle {5 \over 2}\,|\,2\ 5}$
	Familia: Sólidos de Kepler-Poinsot
	Poliedro no convexo
Gran icosaedro
	Dual: Gran icosaedro
	Símbolo de Schläfli: ${\displaystyle \scriptstyle \{3\,,{5 \over 2}\}}$
	Símbolo de Wythoff: ${\displaystyle \scriptstyle {5 \over 2}\,|\,2\ 3}$
	Familia: Sólidos de Kepler-Poinsot
	Poliedro no convexo

diedros y ángulos poliedros lo son también iguales.​Un poliedro regular es identificado por su símbolo de Schläfli de la forma {n, m}, donde «n» es el número de lados en una cara, y «m» el número de caras que se encuentran en un vértice.​

Se han encontrado nueve poliedros regulares, que se dividen en dos grupos: cinco de ellos son poliedros convexos, que corresponden a la familia de sólidos de Platón y los cuatro restantes son poliedros no convexos, que corresponden a la familia de los sólidos de Kepler-Poinsot.

Los cinco poliedros regulares convexos fueron observados por Platón, quien maravillado por sus propiedades, asoció cada uno de ellos a un «elemento» primigenio de su filosofía: aire, agua, tierra y fuego. Curiosamente, asoció el dodecaedro al «quinto elemento» o ente espiritual de su teoría de la materia. En esta estructura de pensamiento muchos ven la génesis de la teoría molecular, pues muchos elementos cristalinos tienen una estructura atómica que obedece a la forma de tales poliedros. Los poliedros regulares convexos son los únicos poliedros puramente regulares, ya que todos sus ángulos son iguales, lo que no ocurre en los poliedros regulares no convexos; incluso la expresión «poliedro regular», para algunos autores, se refiere únicamente a la familia de sólidos de Platón.

Los cuatro poliedros regulares no convexos fueron desconocidos por los matemáticos antiguos y descritos por varios matemáticos;​el pequeño dodecaedro estrellado apareció en 1430 en un mosaico de Paolo Uccello en el piso de la Basílica de San Marcos, en Venecia, Italia. El gran dodecaedro estrellado fue publicado por Wenzel Jamnitzer en 1568. Kepler redescubrió estos dos poliedros y los describió en su obra «Harmonices mundi» en 1619. Los otros dos sólidos: el gran dodecaedro y el gran icosaedro fueron posteriormente redescubiertos por Louis Poinsot en 1809.

Cuando se utilizan combinaciones de distintos poliedros regulares se pierde parte de la uniformidad de la figura resultante, pero a la vez se mantienen varias de las propiedades de los propios poliedros regulares. La mayoría de los poliedros arquimedianos tienen valores angulares iguales, lo que se puede aprovechar para generar empaquetamientos y agregaciones. El sistema poliédrico es tan estable que permite elevar estructuras altas y resistentes con materiales tan ligeros como el bambú.

La combinación de poliedros regulares se utiliza a menudo en diseño industrial y también en arquitectura para células constructivas, habitaciones, mallas espaciales planas, cúpulas geodésicas, etc., e incluso en épocas anteriores para cúpulas de mampostería (bóvedas de crucería renacentistas). Las combinaciones poliédricas también aparecen en la naturaleza, tanto en la estructura de diversos minerales como en elementos estructurales de los seres vivos.

El tetraedro regular es el punto de partida para escolleras que necesitan una resistencia especial. El tetrápodo, cuatro conos de revolución situados desde los vértices hasta el centro de un tetraedro, se utiliza en las escolleras del norte de Francia desde los años 1950 y en las costas de Sudáfrica se usa el Dolos, asimismo conos de revolución dispuestos basándose en la figura del tetraedro.

La combinación de tetraedros también se ha utilizado en proyectos de arquitectura habitacional, que tiene como objetivo la rápida construcción y puesta a punto de viviendas prefabricadas. La Europa Comunista construyó en masa estas células habitacionales, aunque los resultados óptimos se han obtenido en lugares económicamente boyantes como Canadá. Las aplicaciones más primarias formalmente partían del cubo y también se han utilizado en formas tetraédicas u octaédricas.

Las estructuras de base poliédrica, como la cúpula geodésica, sirven en arquitectura para construir estructuras muy livianas y cubrir grandes espacios. Su desarrollo se debe a las investigaciones de Buckminster Fuller en los años 1950 y tienen su origen en las estructuras de los Radiolarios, protozoos que habitan en las profundidades marinas. Las estructuras reticulares, como la cúpula geodésica, las mallas espaciales planas o las estructuras alabeadas, son estructuras livianas que permiten adaptar su forma a las necesidades de cada proyecto. Se componen de los nudos y las barras, pudiendo ser desmontables y por tanto recuperables. Tienen numerosas aplicaciones en arquitectura, tanto efímera como fija.

Información sacada de:  https://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro_regular

Plano (propiedades)

 En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.

Cuando se habla de un plano de polina, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que contiene un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño, ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.

• Dos rectas paralelas o dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por un par ordenado, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento, a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente, el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. En coordenadas polares, por un ángulo y una distancia. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.

El área es una medida de extensión de una superficie, o de una figura geométrica plana, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Propiedades

En un espacio euclidiano tridimensional ℝ³, podemos hallar los siguientes hechos (los cuales no son necesariamente válidos para dimensiones mayores):

• O bien dos planos son paralelos, o bien se intersecan en una línea.
• O bien una recta es paralela a un plano, o bien se interseca con el mismo en un punto, o bien está contenida en él.
• Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre sí.
• Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos entre sí.
• Entre un plano Π cualquiera y una recta no perpendicular al mismo existe solo un plano tal que contiene a la recta y es perpendicular al plano Π.
• Entre un plano Π cualquiera y una recta perpendicular al mismo existen infinitos planos tales que contienen a la recta y son perpendiculares al plano Π.

Ecuación vectorial del plano

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores:

Punto P = (x₁, y₁, z₁)
Vector u = (u_x, u_y, u_z)
Vector v = (a₂, b₂, c₂)

${\displaystyle (x,y,z)=(x_{1},y_{1},z_{1})+m(u_{x},u_{y},u_{z})+n(a_{2},b_{2},c_{2})\,\!}$

donde ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ son escalares.

Esta es la forma vectorial del plano; sin embargo, la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}(\mathbf {X} -\mathbf {P} )\\\mathbf {u} \\\mathbf {v} \end{vmatrix}}=0=>{\begin{vmatrix}x-P_{x}&y-P_{y}&z-P_{z}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}=0=>Ax+By+Cz+D=0}$

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano y coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. La fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

${\displaystyle a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)=0\,}$

Estrictamente

P = P₀ + mA + nB es la ecuación del plano determinado por un punto fijo y dos vectores A y B no colineales.

Ecuación mediante vector ortogonal

a.x = 0, donde a es un vector ortogonal y x un punto del plano.

Posición relativa entre dos planos

Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2.

Sus posiciones relativas pueden ser:

• Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2.
• Planos paralelos: si tienen la misma dirección los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2.
• Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

Distancia de un punto a un plano

Para un plano cualquiera ${\displaystyle \Pi :ax+by+cz+d=0\,}$ y un punto cualquiera ${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ no necesariamente contenido en dicho plano Π, la menor distancia entre P₁ y el plano Π es:

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$

De lo anterior se deduce que el punto P₁ pertenecerá al plano Π si y solo si D=0.

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación canónica de un plano cualquiera están normalizados, esto es cuando ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}$, entonces la fórmula anterior de la distancia D se reduce a:

${\displaystyle D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.}$

Semiplano

Se llama semiplano, en geometría, cada una de las dos partes en que un plano queda dividido por una recta.

Analíticamente

La inecuación ${\displaystyle ax+by+c\geq 0}$ determina un semiplano y su recta frontera ${\displaystyle ax+by+c=0}$

La inecuación ${\displaystyle ax+by+c>0}$ determina un semiplano sin incluir la frontera ${\displaystyle ax+by+c=0}$. Este semiplano es un conjunto convexo, abierto y no acotado.

Partición

La recta de ecuación ${\displaystyle L=ax+by+c=0}$y los semiplanos ${\displaystyle S_{1}=ax+by+c<0}$, ${\displaystyle S_{2}=ax+by+c>0}$ determinan una partición del plano, de modo que un punto cualquiera de este está exactamente en uno, y solo uno de los tres conjuntos: recta L, semiplanos ${\displaystyle S_{1}}$ o ${\displaystyle S_{2}}$.²​

Postulados de la división de un plano

En cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano existen infinitos puntos tales que:

1. Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos o a la recta que los determina.
2. Dos puntos del mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta r.
3. Dos puntos de semiplanos diferentes determinan un segmento que corta a la recta 'r8.

Polígono regular

 En geometría plana, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el adjetivo regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

• Elementos:
• Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
• 
  Vértice, V: el único punto común de cualquiera de los dos lados consecutivos.
• Centro, C: el punto interior equidistante de todos los vértices y de los puntos medios de todos los lados.
• Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, desde el centro del polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dos vértices no continuos.
• Perímetro, P: es la suma de la longitud de todos sus lados .
• Semiperímetro, p: es la mitad del perímetro.
• Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.
  
  
  
  
  
• Propiedades:
• Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma longitud.
• Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma amplitud.
• Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.
• A cualquier polígono regular se puede circunscribir una circunferencia.

Información sacada de:  https://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular