Número áureo: definición y cálculo

 El número áureo (también llamado número de oro, número de Dios, razón extrema y media,​ razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción​) es un número irracional,​ representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

Su valor numérico, mediante radicales o decimales es:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618\;033\;988\;749\;894\ldots }$

También se representa con la letra griega tau (Τ τ),​ por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la letra griega alfa minúscula.​

Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal es infinita y no tiene periodo) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la Antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ² = 2.61803398874988…) y su recíproco (1/Φ = 0.61803398874988…) tienen las mismas infinitas cifras decimales.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte. 

Cálculo del valor del número áureo:

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

Un método para encontrar el valor de φ es comenzar con la fracción izquierda. Simplificando la fracción:

${\displaystyle 1+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

Si ${\displaystyle \varphi =a/b}$ entonces la ecuación queda:

${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}=\varphi ,\qquad \Rightarrow \varphi +1=\varphi ^{2},\qquad \Rightarrow \varphi ^{2}-\varphi -1=0}$

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{\textrm {.}}6180339887498948482045868343656381177203\ldots }$

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación ${\displaystyle a/b}$.

Información sacada de: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo