Teorema de la probabilidad total

El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

Sea ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ una partición sobre el espacio muestral y sea ${\displaystyle B}$ un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales ${\displaystyle P(B|A_{i})}$, entonces la probabilidad del suceso ${\displaystyle B}$ viene dada por la expresión: ${\displaystyle P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i})}$ Por hipótesis tenemos una partición ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ del espacio muestral ${\displaystyle \Omega }$. Por lo tanto el suceso ${\displaystyle B}$ se puede escribir como ${\displaystyle B=(B\cap A_{1})\cup (B\cap A_{2})\cup \cdots \cup (B\cap A_{n}).}$ ahora bien, los conjuntos ${\displaystyle B\cap A_{i}}$ son disjuntos dos a dos , ya que en caso contrario los ${\displaystyle A_{i}}$ tampoco lo serían. En consecuencia ${\displaystyle P(B)=P(B\cap A_{1})+P(B\cap A_{2})+\cdots +P(B\cap A_{n}).}$ Por último, se sabe que ${\displaystyle P(C\cap D)=P(C|D)P(D)}$ para cualesquiera sucesos ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$. Luego ${\displaystyle P(B)=P(B|A_{1})P(A_{1})+P(B|A_{2})P(A_{2})+\ldots +P(B|A_{n})P(A_{n})=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i}),}$ que era lo que se quería demostrar  Información sacada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_probabilidad_total