Teorema de L´Hôpital

 En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli​ es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.​

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.​ La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por medio del cual el marqués de L'Hopital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da solo en el caso de las indeterminaciones del tipo ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ o ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$.

Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c)=g(c)=0 y g'(x)≠0 si x≠c. Si existe el límite L de f '/g' en c, entonces existe el límite de f/g (en c) y es igual a L. Por lo tanto, ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}=L}$ Guillaume de l'Hôpital El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa requiere de argumentos de tipo ${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$ más delicados. Como ${\displaystyle g(c)=0}$ y ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ si ${\displaystyle x\neq c}$, se tiene que ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ si ${\displaystyle x\neq c}$ como consecuencia del Teorema de Rolle. Dado que f(c)=g(c)=0, aplicando el Teorema del Valor Medio de Cauchy, para todo x en (a,b), con x distinto de c, existe tx en el intervalo de extremos a y b, tal que el cociente f(x)/g(x) se puede escribir de la siguiente manera: ${\displaystyle {\cfrac {f(x)}{g(x)}}={\cfrac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}={\cfrac {f'(t_{x})}{g'(t_{x})}}}$ Cuando x tiende hacia c, igualando los valores de las igualdades de arriba, tx también tiende hacia c, así que: ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\cfrac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\cfrac {f'(t_{x})}{g'(t_{x})}}=L}$ El último paso al límite, aunque es cierto, requeriría una justificación más rigurosa.  Información sacada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital